মডেল টেস্ট উত্তরমালা : অনুপাত সমানুপাত

গণিত মডেল টেস্টের উত্তরমালা

অধ্যায় ১১: বীজগাণিতিক অনুপাত ও সমানুপাত

প্রথম অংশ: বহুনির্বাচনী প্রশ্নের উত্তর (MCQ)

প্রশ্ন নং ১	(ঘ) ৪:৫	প্রশ্ন নং ১১	(গ) ৫০°, ৪০°
প্রশ্ন নং ২	(গ) ৩০	প্রশ্ন নং ১২	(গ) √π : ২
প্রশ্ন নং ৩	(খ) p/r	প্রশ্ন নং ১৩	(ঘ) ১৫:২০:২৮
প্রশ্ন নং ৪	(খ) i ও iii	প্রশ্ন নং ১৪	(ঘ) ৬:৪:৩
প্রশ্ন নং ৫	(খ) ১৯%	প্রশ্ন নং ১৫	(ক) ৫৪
প্রশ্ন নং ৬	(গ) 2√2 : 2	প্রশ্ন নং ১৬	(ক) ২:৩
প্রশ্ন নং ৭	(খ) ৭:৮	প্রশ্ন নং ১৭	(ঘ) b² = ac
প্রশ্ন নং ৮	(গ) ৬০%	প্রশ্ন নং ১৮	(খ) ২৬ সে.মি.
প্রশ্ন নং ৯	(ঘ) ৪৪%	প্রশ্ন নং ১৯	(খ) ১
প্রশ্ন নং ১০	(ক) ২	প্রশ্ন নং ২০	(ক) ৯০

দ্বিতীয় অংশ: সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান (CQ)

১ নং প্রশ্নের সমাধান

ক.
আমরা জানি, কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, তার কর্ণের দৈর্ঘ্য হয় a√2 একক।
প্রশ্নানুসারে,
প্রথম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = m একক
∴ প্রথম বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = m√2 একক

দ্বিতীয় বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = n একক
∴ দ্বিতীয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = n√2 একক

সুতরাং, তাদের কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = m√2 : n√2 = m : n (উত্তর)

---

খ.
দেওয়া আছে, p, q, r, s ক্রমিক সমানুপাতিক।
∴ pq = qr = rs
ধরি, pq = qr = rs = k
তাহলে, r = sk, q = rk = (sk)k = sk², p = qk = (sk²)k = sk³

বামপক্ষ = (p² - q² + r²)(q² - r² + s²)
= {(sk³)² - (sk²)² + (sk)²}{(sk²)² - (sk)² + s²}
= {s²k⁶ - s²k⁴ + s²k²}{s²k⁴ - s²k² + s²}
= s²k²(k⁴ - k² + 1) ⋅ s²(k⁴ - k² + 1)
= s⁴k²(k⁴ - k² + 1)²

ডানপক্ষ = (pq - qr + rs)²
= {(sk³)(sk²) - (sk²)(sk) + (sk)s}²
= {s²k⁵ - s²k³ + s²k}²
= {s²k(k⁴ - k² + 1)}²
= s⁴k²(k⁴ - k² + 1)²

∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

---

গ.
দেওয়া আছে, 2x = 1a + 1b
বা, 2x = a+bab
বা, x2 = aba+b

এখন, xa = 2ba+b
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
x+ax-a = 2b + a + b2b - a - b
∴ x+ax-a = 3b + ab - a .....(i)

আবার, xb = 2aa+b
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
x+bx-b = 2a + a + b2a - a - b
∴ x+bx-b = 3a + ba - b .....(ii)

এখন, x+ax-a + x+bx-b
= 3b + ab - a + 3a + ba - b
= - 3b + aa - b + 3a + ba - b
= -3b - a + 3a + ba - b
= 2a - 2ba - b = 2(a - b)a - b = 2 (প্রমাণিত)।

২ নং প্রশ্নের সমাধান

ক.
দেওয়া আছে, log_x 400 = 4
বা, x⁴ = 400
বা, x⁴ = (20)²
বা, x⁴ = (√20)⁴
∴ x = √20 (উত্তর)

---

খ.
দেওয়া আছে, p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী। ∴ q² = pr

বামপক্ষ = p⁸q⁸r⁸(1p¹² + 1q¹² + 1r¹²)
= p⁸q⁸r⁸p¹² + p⁸q⁸r⁸q¹² + p⁸q⁸r⁸r¹²
= q⁸r⁸p⁴ + p⁸r⁸q⁴ + p⁸q⁸r⁴

প্রথম পদ: q⁸r⁸p⁴ = (q²)⁴r⁸p⁴ = (pr)⁴r⁸p⁴ = p⁴r¹²p⁴ = r¹²
তৃতীয় পদ: p⁸q⁸r⁴ = p⁸(q²)⁴r⁴ = p⁸(pr)⁴r⁴ = p¹²r⁴r⁴ = p¹²
মধ্যম পদ: p⁸r⁸q⁴ = (pr)⁸q⁴ = (q²)⁸q⁴ = q¹⁶q⁴ = q¹²

∴ বামপক্ষ = r¹² + p¹² + q¹² = p¹² + q¹² + r¹² = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)।

---

গ.
দেওয়া আছে, 14y = 1m + 1n
বা, 14y = m+nmn
বা, y14 = mnm+n

এখন, y7m = 2nm+n
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
y+7my-7m = 2n + m + n2n - m - n
∴ y+7my-7m = m + 3nn - m .....(i)

আবার, y7n = 2mm+n
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
y+7ny-7n = 2m + m + n2m - m - n
∴ y+7ny-7n = 3m + nm - n .....(ii)

এখন, বামপক্ষ = y+7my-7m + y+7ny-7n
= m + 3nn - m + 3m + nm - n
= - m + 3nm - n + 3m + nm - n
= -m - 3n + 3m + nm - n
= 2m - 2nm - n = 2(m - n)m - n = 2 = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)।