ইন্টিগ্রেশনের মাধ্যমে RC সার্কিটের চার্জিং সমীকরণ প্রতিপাদন (বিশদ টিউটোরিয়াল)

RC Circuit সমীকরণের বিস্তারিত সমাধান

এখানে একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল সমীকরণের ধাপে ধাপে সমাধান দেওয়া হলো। এই সমীকরণটি সাধারণত পদার্থবিদ্যায় একটি RC সার্কিটে ক্যাপাসিটর চার্জিং প্রক্রিয়াকে বর্ণনা করে।

মূল সমীকরণ: \[\int_{0}^{Q} \frac{-dQ}{\epsilon C - Q} = \int_{0}^{t} \frac{-dt}{RC}\]

১. বাম পক্ষ (LHS) সমাধান

সমীকরণের বাম পক্ষটি হলো:

\[LHS = \int_{0}^{Q} \frac{-dQ}{\epsilon C - Q}\]

আমরা এই ইন্টিগ্রালটি u-substitution পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে পারি।

1. সাবস্টিটিউশন সংজ্ঞায়িত করুন: ধরুন, \(u = \epsilon C - Q\)। (এখানে \(\epsilon\) এবং \(C\) ধ্রুবক)।
2. ডিফারেনশিয়াল \(du\) নির্ণয় করুন: \(u\)-কে \(Q\)-এর সাপেক্ষে ডিফারেনশিয়েট করে পাই: \[\frac{du}{dQ} = -1\] পুনর্বিন্যাস করলে দাঁড়ায়: \[du = -dQ\]
3. \(u\) এবং \(du\) প্রতিস্থাপন করুন: মূল ইন্টিগ্রাল \(\int \frac{-dQ}{\epsilon C - Q}\) পরিবর্তিত হয়ে \(\int \frac{du}{u}\) হয়।
4. নতুন ইন্টিগ্রালটি সমাধান করুন: \(\frac{1}{u}\)-এর ইন্টিগ্রাল হলো প্রাকৃতিক লগারিদম, \(\ln|u|\)। \[\int \frac{du}{u} = \ln|u|\]
5. মান বসিয়ে ইন্টিগ্রেশনের সীমা প্রয়োগ করুন: এখন আমরা \(u\)-এর পরিবর্তে \((\epsilon C - Q)\) বসিয়ে মূল সীমা, \(Q=0\) থেকে \(Q=Q\) পর্যন্ত প্রয়োগ করি। \[LHS = [\ln|\epsilon C - Q|]_{0}^{Q}\] প্রথমে, উপরের সীমা (\(Q = Q\)) বসাই: \[\ln|\epsilon C - Q|\] এরপর, নিম্ন সীমা (\(Q = 0\)) বসাই: \[\ln|\epsilon C - 0| = \ln|\epsilon C|\] উপরের সীমা থেকে নিম্নের সীমার ফলাফল বিয়োগ করি: \[LHS = \ln|\epsilon C - Q| - \ln|\epsilon C|\]

   (দ্রষ্টব্য: একটি চার্জিং সার্কিটে, সর্বোচ্চ চার্জ হলো \(\epsilon C\), এবং বর্তমান চার্জ \(Q\) সর্বদা এর চেয়ে কম থাকে। তাই, \((\epsilon C - Q)\) এবং \(\epsilon C\) উভয়ই ধনাত্মক, ফলে আমরা مطلق মান (absolute value) চিহ্ন বাদ দিতে পারি।)

   \[LHS = \ln(\epsilon C - Q) - \ln(\epsilon C)\]
6. লগারিদম সূত্র ব্যবহার করে সরলীকরণ: \(\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})\) সূত্রটি ব্যবহার করে পাই: \[LHS = \ln\left(\frac{\epsilon C - Q}{\epsilon C}\right)\]

২. ডান পক্ষ (RHS) সমাধান

সমীকরণের ডান পক্ষটি হলো:

\[RHS = \int_{0}^{t} \frac{-dt}{RC}\]

1. ধ্রুবক শনাক্ত করুন: এই ইন্টিগ্রালে, \(R\) (রোধ) এবং \(C\) (ক্যাপাসিট্যান্স) ধ্রুবক। অতএব, সম্পূর্ণ \(\frac{-1}{RC}\) রাশিটি একটি ধ্রুবক এবং এটি ইন্টিগ্রালের বাইরে আনা যায়। \[RHS = \frac{-1}{RC} \int_{0}^{t} dt\]
2. সহজ ইন্টিগ্রালটি সমাধান করুন: \(dt\)-এর ইন্টিগ্রাল হলো \(t\)।
3. ইন্টিগ্রেশনের সীমা প্রয়োগ করুন: আমরা \(t\)-এর মান \(0\) থেকে \(t\) পর্যন্ত মূল্যায়ন করি। \[RHS = \frac{-1}{RC} [t]_{0}^{t}\] \[RHS = \frac{-1}{RC} (t - 0)\]
4. ফলাফল সরলীকরণ: \[RHS = \frac{-t}{RC}\]

৩. ফলাফল একীকরণ এবং \(Q\)-এর জন্য সমাধান

এখন আমরা আমাদের সরলীকৃত \(LHS\) এবং \(RHS\)-কে মূল সমীকরণ অনুযায়ী সমান করি:

\[\ln\left(\frac{\epsilon C - Q}{\epsilon C}\right) = \frac{-t}{RC}\]

আমাদের লক্ষ্য হলো \(Q\)-কে আলাদা করা।

1. প্রাকৃতিক লগারিদম অপসারণ: \(\ln()\)-কে অপসারণ করতে, আমরা উভয় পক্ষকে \(e\)-এর ঘাত (exponent) হিসাবে ব্যবহার করি। \[e^{\ln\left(\frac{\epsilon C - Q}{\epsilon C}\right)} = e^{-t/RC}\] যেহেতু \(e^{\ln(x)} = x\), বাম পক্ষটি সরল হয়ে যায়: \[\frac{\epsilon C - Q}{\epsilon C} = e^{-t/RC}\]
2. \(Q\) রাশিকে আলাদা করুন: বাম পাশের ভগ্নাংশটি ভেঙে লিখি: \[\frac{\epsilon C}{\epsilon C} - \frac{Q}{\epsilon C} = e^{-t/RC}\] \[1 - \frac{Q}{\epsilon C} = e^{-t/RC}\] \(\frac{Q}{\epsilon C}\)-এর জন্য সমীকরণটি পুনর্বিন্যাস করি: \[1 - e^{-t/RC} = \frac{Q}{\epsilon C}\]
3. চূড়ান্ত সমাধান: \(t\)-এর ফাংশন হিসাবে \(Q\)-এর চূড়ান্ত রাশি পেতে উভয় পক্ষকে \(\epsilon C\) দ্বারা গুণ করুন:
   \[Q(t) = \epsilon C \left(1 - e^{-t/RC}\right)\]