এইচএসসি আইসিটি হ্যান্ডনোট: সংখ্যা পদ্ধতি (অধ্যায় ৩)
শিক্ষার্থীদের জন্য সহজ ও বিস্তারিত আলোচনা: সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর, যোগ, ২-এর পরিপূরক এবং বোর্ড পরীক্ষার সৃজনশীল প্রশ্নের সমাধান।
🏛️ ধরণ ১: সংখ্যা পদ্ধতির রূপান্তর
সংখ্যা পদ্ধতি হলো সংখ্যা লেখা বা প্রকাশ করার একটি নিয়ম। প্রতিটি সংখ্যা পদ্ধতির একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি (Base) থাকে, যা ওই পদ্ধতিতে ব্যবহৃত মোট মৌলিক অঙ্কের সংখ্যা নির্দেশ করে। কম্পিউটারের নিজস্ব ভাষা বাইনারি ($0, 1$) হলেও, প্রোগ্রামিং-এ কাজের সুবিধার জন্য অক্টাল (ভিত্তি-৮) এবং হেক্সাডেসিমেল (ভিত্তি-১৬) পদ্ধতিও ব্যবহৃত হয়।
সৃজনশীল প্রশ্নের 'গ' নম্বরে প্রায়ই এক পদ্ধতি থেকে অন্য পদ্ধতিতে সংখ্যা রূপান্তর করতে বলা হয়।
রূপান্তরের মূল নিয়মাবলী
- যেকোনো পদ্ধতি $\to$ ডেসিমেল: সংখ্যাটির প্রতিটি অঙ্ককে তার নিজস্ব বেস (Base) দিয়ে গুণ করতে হবে। বেস-এর ওপর পাওয়ার হবে অঙ্কটির স্থানীয় মান (Position)। পূর্ণাংশের জন্য পাওয়ার ডান থেকে বামে $0, 1, 2...$ এবং ভগ্নাংশের জন্য বাম থেকে ডানে $-1, -2...$ হবে।
- ডেসিমেল $\to$ যেকোনো পদ্ধতি: পূর্ণাংশকে টার্গেট বেস দিয়ে বারবার ভাগ করতে হবে (ভাগশেষ বা LSB নিচ থেকে উপরে সাজাতে হবে)। ভগ্নাংশকে টার্গেট বেস দিয়ে বারবার গুণ করতে হবে (পূর্ণাংশ বা MSB উপর থেকে নিচে সাজাতে হবে)।
- শর্টকাট (বাইনারি $\leftrightarrow$ অক্টাল/হেক্সা): প্রতি ১টি অক্টাল অঙ্ক = ৩টি বাইনারি বিট। প্রতি ১টি হেক্সাডেসিমেল অঙ্ক = ৪টি বাইনারি বিট।
💡 সমাধানসহ উদাহরণ
[চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১৪ (গ): ফারহানের গড় রানকে প্রচলিত সংখ্যা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর। (ফারহানের রান: $(4D.3C)_{16}$)
সমাধান: এখানে $(4D.3C)_{16}$ কে প্রচলিত সংখ্যা পদ্ধতি অর্থাৎ ডেসিমেল (দশমিক) পদ্ধতিতে রূপান্তর করতে হবে।
\[ (4D.3C)_{16} \]
\[ = (4 \times 16^1) + (D \times 16^0) + (3 \times 16^{-1}) + (C \times 16^{-2}) \]
\[ = (4 \times 16) + (13 \times 1) + (3 \div 16) + (12 \div 16^2) \]
(যেহেতু $D=13, C=12$)
\[ = 64 + 13 + 0.1875 + 0.046875 \]
\[ = 77.234375 \]
উত্তর: ফারহানের গড় রান $(77.234)_{10}$ (প্রায়)।
[দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ৪০ (গ): কাকলী ও পলির পোশাকের দাম দশভিত্তিতে প্রকাশ কর। (কাকলী: $(167)_8$, পলি: $(79)_{16}$)
সমাধান:
কাকলীর পোশাকের দাম (দশমিকে):
\[ (167)_8 = (1 \times 8^2) + (6 \times 8^1) + (7 \times 8^0) \]
\[ = (1 \times 64) + (6 \times 8) + (7 \times 1) = (119)_{10} \]
পলির পোশাকের দাম (দশমিকে):
\[ (79)_{16} = (7 \times 16^1) + (9 \times 16^0) \]
\[ = (7 \times 16) + (9 \times 1) = (121)_{10} \]
উত্তর: দশমিকে কাকলীর দাম $(119)_{10}$ এবং পলির দাম $(121)_{10}$।
[বরিশাল বোর্ড ২০১৭] প্রশ্ন ৮২ (গ): আসিফের অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরকে হেক্সাডেসিমেল সংখ্যায় রূপান্তর কর। (নম্বর: $(112)_8$)
সমাধান: প্রথমে অক্টাল থেকে বাইনারি (৩-বিট) এবং পরে বাইনারি থেকে হেক্সাডেসিমেল (৪-বিট) রূপান্তর করা সহজ।
১. অক্টাল $\to$ বাইনারি (৩-বিট):
$(112)_8$ = $(001)(001)(010)_2$ = $(001001010)_2$
২. বাইনারি $\to$ হেক্সাডেসিমেল (৪-বিট গ্রুপিং):
$(0001 \ 0100 \ 1010)_2$ (ডান থেকে বামে ৪-বিট গ্রুপিং)
$0001 = 1$; $0100 = 4$; $1010 = A$
উত্তর: আসিফের প্রাপ্ত নম্বর হেক্সাডেসিমেলে $(4A)_{16}$।
✍️ শিক্ষার্থীদের অনুশীলনী
- [ঢাকা বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ৬ (গ): উদ্দীপকে ইমনের ইংরেজি বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর হেক্সাডেসিমেলে রূপান্তর কর। (নম্বর: $(123)_8$)
- [বরিশাল বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১৮ (গ): উদ্দীপকের চার্ট থেকে আপেল ও কমলার মূল্যের যোগফল বাইনারিতে নির্ণয় কর। (আপেল: $(12.75)_{10}$, কমলা: $(32.2)_8$)
- [রাজশাহী বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ২৭ (গ): X-এর অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষার মেধাক্রম বাইনারি ও অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতিতে রূপান্তর কর। (মেধাক্রম: $(2F)_{16}$)
- [যশোর বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ২৯ (গ): $(2FC)_{16}$ সংখ্যাটিকে স্যারের নতুন সংখ্যা পদ্ধতিতে (৫-ভিত্তিক) রূপান্তর কর।
🏛️ ধরণ ২: সংখ্যা পদ্ধতির যোগ
এই ধরনের প্রশ্নে একাধিক সংখ্যাকে (যারা ভিন্ন ভিন্ন বেস-এ থাকতে পারে) যোগ করে একটি নির্দিষ্ট বেস-এ (যেমন: বাইনারি বা অক্টাল) ফলাফল দেখাতে বলা হয়।
সমাধানের সেরা ধাপ (Common Ground Method)
- সবচেয়ে সহজ ও নির্ভুল উপায় হলো, প্রথমে প্রতিটি সংখ্যাকে ডেসিমেল (Decimal) পদ্ধতিতে রূপান্তর করা।
- ডেসিমেল সংখ্যাগুলোকে সাধারণ গণিতের মতো যোগ করা।
- প্রাপ্ত ডেসিমেল যোগফলকে প্রশ্নে চাওয়া টার্গেট বেস-এ (যেমন: বাইনারি বা অক্টাল) রূপান্তর করা।
💡 সমাধানসহ উদাহরণ
[ঢাকা বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ২৫ (গ): উদ্দীপকের রনি এবং জনি মোট কত টাকার বই কিনেছিল তা ডেসিমেল পদ্ধতিতে নির্ণয় কর। (রনি: $(346)_8$, জনি: $(10110110)_2$)
১. রনির খরচ (ডেসিমেল):
\[ (346)_8 = (3 \times 8^2) + (4 \times 8^1) + (6 \times 8^0) \]
\[ = (3 \times 64) + (4 \times 8) + (6 \times 1) = 192 + 32 + 6 = (230)_{10} \]
২. জনির খরচ (ডেসিমেল):
\[ (10110110)_2 = 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = (182)_{10} \]
৩. মোট খরচ:
\( (230)_{10} + (182)_{10} = (412)_{10} \)
উত্তর: তারা মোট $(412)_{10}$ টাকার বই কিনেছিল।
[রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম ও বরিশাল বোর্ড ২০১৮] প্রশ্ন ৬৬ (ঘ): উদ্দীপকের তিন জনের বইয়ের মোট দাম কত তা অক্টালে প্রকাশ কর। (X: $(110110)_2$, Y: $(36)_8$, Z: $(A9)_{16}$)
১. সবগুলোকে ডেসিমেল-এ রূপান্তর:
- X: $(110110)_2$ = $32 + 16 + 4 + 2$ = $(54)_{10}$
- Y: $(36)_8$ = $(3 \times 8) + (6 \times 1)$ = $24 + 6$ = $(30)_{10}$
- Z: $(A9)_{16}$ = $(10 \times 16) + (9 \times 1)$ = $160 + 9$ = $(169)_{10}$
২. ডেসিমেল-এ যোগ:
মোট দাম = $54 + 30 + 169$ = $(253)_{10}$
৩. ডেসিমেল থেকে অক্টাল রূপান্তর:
- $253 \div 8 = 31$ (ভাগশেষ ৫)
- $31 \div 8 = 3$ (ভাগশেষ ৭)
- $3 \div 8 = 0$ (ভাগশেষ ৩)
উত্তর: তিনজনের বইয়ের মোট দাম $(375)_8$।
✍️ শিক্ষার্থীদের অনুশীলনী
- [যশোর বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১০ (গ): উদ্দীপকে (i) ও (ii) এর যোগফল বাইনারিতে প্রকাশ কর। (i: $(1A5)_{16}$, ii: $(65)_8$)
- [কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ৩২ (গ): মামুন ও আবির মোট কত টাকার টিকিট ক্রয় করল তা বাইনারিতে প্রকাশ কর। (মামুন: $(112)_8$, আবির: $(3D)_{16}$)
- [রাজশাহী বোর্ড ২০১৯] প্রশ্ন ৪৮ (গ): উদ্দীপকে উল্লিখিত কৃষ্টি ও মুক্তির উপহার সামগ্রীর মূল্য বাইনারিতে মোট কত হবে নির্ণয় কর। (কৃষ্টি: $(5D7)_{16}$, মুক্তি: $(999)_{10}$)
অফলাইন/অনলাইন কোর্সে ভর্তি হতে চান?
আজই যোগাযোগ করুন:
Naim Sir
🏛️ ধরণ ৩: ২-এর পরিপূরক (2's Complement)
এটি "সংখ্যা পদ্ধতি" অংশের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। কম্পিউটার সরাসরি বিয়োগ করতে পারে না। এটি যোগের সার্কিট (Adder) ব্যবহার করেই বিয়োগের কাজ সম্পন্ন করে। এই কাজটি করার জন্য "২-এর পরিপূরক" পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এই পদ্ধতিতে ঋণাত্মক সংখ্যাকে একটি বিশেষ উপায়ে প্রকাশ করা হয়।
২-এর পরিপূরকের মূল ধারণা
- রেজিস্টার (Register): কম্পিউটার একটি নির্দিষ্ট বিট সংখ্যার (যেমন: ৮-বিট) ওপর ভিত্তি করে কাজ করে।
- চিহ্ন বিট (Sign Bit): ৮-বিট রেজিস্টারে সর্ববামের বিটটিকে (MSB) চিহ্ন বিট বলা হয়।
- চিহ্ন বিট $0$ হলে সংখ্যাটি ধনাত্মক (Positive)।
- চিহ্ন বিট $1$ হলে সংখ্যাটি ঋণাত্মক (Negative)।
২-এর পরিপূরকে বিয়োগ ($A - B$) করার ধাপ
- $A$ এবং $B$ উভয় সংখ্যাকে বাইনারিতে রূপান্তর করতে হবে (সাধারণত ৮-বিট)।
- যে সংখ্যাটি বিয়োগ করা হবে ($B$), তার ২-এর পরিপূরক মান (অর্থাৎ $-B$) বের করতে হবে।
- ধাপ ক (১-এর পরিপূরক): $B$-এর বাইনারি মানটির প্রতিটি বিট উল্টে দিতে হবে (0 $\to$ 1 এবং 1 $\to$ 0 করা)।
- ধাপ খ (২-এর পরিপূরক): প্রাপ্ত ১-এর পরিপূরকের সাথে $1$ যোগ করতে হবে।
- $A$-এর বাইনারি মানের সাথে $B$-এর ২-এর পরিপূরক মানটি (অর্থাৎ $-B$) যোগ করতে হবে।
- ফলাফল বিশ্লেষণ (সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ):
- যোগফলে যদি অতিরিক্ত বিট (ক্যারি বিট) আসে (৮-বিটের যোগফলে ৯ম বিটে $1$ আসে), তবে সেই ক্যারি বিটটি বাদ যাবে। ফলাফলটি ধনাত্মক (Positive)।
- যোগফলে যদি অতিরিক্ত বিট না আসে, তবে ফলাফলটি ঋণাত্মক (Negative) এবং উত্তরটি ২-এর পরিপূরক অবস্থায় আছে।
💡 সমাধানসহ উদাহরণ
[ঢাকা বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ২৫ (ঘ): উদ্দীপকের দুইজনের মধ্যে কে বেশি মূল্যের বই কিনেছিল তা ২ এর পরিপূরক পদ্ধতিতে নির্ণয় কর। (রনি: $(230)_{10}$, জনি: $(182)_{10}$)
সমাধান: 'গ' থেকে পাই, রনির খরচ $(230)_{10}$ এবং জনির খরচ $(182)_{10}$।
আমরা $(230)_{10}$ থেকে $(182)_{10}$ বিয়োগ করব। (অর্থাৎ $230 + (-182)$)
১. বাইনারি রূপান্তর (৮-বিট):
- $(230)_{10} = (11100110)_2$
- $(182)_{10} = (10110110)_2$
- $(182)_{10}$ এর মান: $10110110$
- ১-এর পরিপূরক: $01001001$
- ১ যোগ: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $+ 1$
- ২-এর পরিপূরক: $01001010$
11100110 (230)
+ 01001010 (-182)
----------------
1 00110000
৪. ফলাফল:এখানে ৯ম বিট (ক্যারি বিট) $1$ এসেছে, যা বাদ যাবে।
ফলাফল: $(00110000)_2$ = $(48)_{10}$।
উত্তর: ফলাফল ধনাত্মক, অর্থাৎ রনি $(48)_{10}$ টাকার বেশি মূল্যের বই কিনেছিল।
[চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১৪ (ঘ): ওহিদ ও নাফিজের গড় রানের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় কর। (ওহিদ: $(127)_8$, নাফিজ: $(1010001)_2$)
১. ডেসিমেল ও বাইনারি রূপান্তর (৮-বিট):
- ওহিদ: $(127)_8$ = $64 + 16 + 7$ = $(87)_{10}$ = $(01010111)_2$
- নাফিজ: $(1010001)_2$ = $64 + 16 + 1$ = $(81)_{10}$ = $(01010001)_2$
- $(81)_{10}$ এর মান: $01010001$
- ১-এর পরিপূরক: $10101110$
- ১ যোগ: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $+ 1$
- ২-এর পরিপূরক: $10101111$
01010111 (87)
+ 10101111 (-81)
----------------
1 00000110
৪. ফলাফল:৯ম বিট (ক্যারি) $1$ এসেছে, যা বাদ যাবে।
ফলাফল: $(00000110)_2$ = $(6)_{10}$।
উত্তর: তাদের রানের পার্থক্য $(6)_{10}$ বা $(110)_2$।
✍️ শিক্ষার্থীদের অনুশীলনী
- [পাঠ্যবইয়ের অনুশীলনী] প্রশ্ন ২ (ঘ): "Y" এর চেয়ে "X" বেশি মূল্যের বই কিনল। পরিপূরক পদ্ধতি ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করে দেখাও। (X: $(110110)_2$, Y: $(36)_8$)
- [যশোর বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১০ (ঘ): উদ্দীপকে (ii) ও (iii) এর মানের পার্থক্য যোগের মাধ্যমে বের করা সম্ভব— দেখাও। (ii: $(65)_8$, iii: $(11010)_2$)
- [কুমিল্লা বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১২ (ঘ): উদ্দীপকে উল্লিখিত কলম ও বইয়ের মূল্য দুইটির পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় কর। (কলম: $(76)_8$, বই: $(45)_{10}$)
- [ঢাকা বোর্ড ২০১৯] প্রশ্ন ৪৬ (ঘ): সোহেল ও রোহান এর প্রাপ্ত নম্বরের মধ্যে পার্থক্য যোগের মাধ্যমে নির্ণয় করা যায় কি-না? (সোহেল: $(105)_8$, রোহান: $(4F)_{16}$)
🏛️ ধরণ ৪: ধারণাগত প্রশ্ন (সংখ্যা পদ্ধতি)
এই প্রশ্নগুলো সাধারণত 'খ' নম্বরে আসে এবং কোনো গাণিতিক যুক্তি বা সংখ্যা পদ্ধতির নিয়মকে ব্যাখ্যা করতে বলে। এখানে সরাসরি গাণিতিক প্রমাণ দেখাতে হয়। এই প্রশ্নগুলো মূলত আপনার সংখ্যা পদ্ধতির বেস (Base) বা ভিত্তি সম্পর্কে ধারণা পরীক্ষা করে।
💡 সমাধানসহ উদাহরণ
[যশোর বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ২৯ (খ): $9+7=20$ কীভাবে সম্ভব তা দেখাও।
সমাধান: উক্তিটি অক্টাল (Octal) সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে সম্ভব।
১. দশমিক অংশে:
\[ 9 + 7 = (16)_{10} \]
২. অক্টাল অংশে:
এখন, $(16)_{10}$ কে অক্টাল (ভিত্তি-৮) সংখ্যায় রূপান্তর করলে পাই:
- $16 \div 8 = 2$ (ভাগশেষ $0$)
- $2 \div 8 = 0$ (ভাগশেষ $2$)
সুতরাং, $(16)_{10} = (20)_8$। তাই $9+7=20$ সম্ভব (যখন ৯ ও ৭ কে তাদের ডেসিমেল মান হিসেবে ধরে অক্টাল পদ্ধতিতে রূপান্তর করা হয়)।
[বরিশাল বোর্ড ২০১৯] প্রশ্ন ৫৯ (খ): $FF$-এর পরের সংখ্যাটি $100$- ব্যাখ্যা কর।
সমাধান: উক্তিটি হেক্সাডেসিমেল (Hexadecimal) সংখ্যা পদ্ধতির ক্ষেত্রে সঠিক।
হেক্সাডেসিমেল সংখ্যা পদ্ধতিতে $F$ হলো সর্বোচ্চ অঙ্ক (যার ডেসিমেল মান 15)।
$(FF)_{16}$ এর সাথে $1$ যোগ করলে:
1 (ক্যারি)
F F
+ 1
-----
1 0 0
ব্যাখ্যা:
- ডানের $F$ (15) এর সাথে $1$ যোগ করলে হয় $16$।
- হেক্সাডেসিমেল বেস 16 হওয়ায়, $16 \div 16 = 1$ (ভাগশেষ $0$)।
- ভাগশেষ $0$ নিচে নামবে এবং ক্যারি $1$ বামের $F$-এর সাথে যোগ হবে।
- বামের $F$ (15) + ক্যারি $1$ = $16$।
- আবারও, $16 \div 16 = 1$ (ভাগশেষ $0$)।
- ভাগশেষ $0$ নিচে নামবে এবং ক্যারি $1$ সামনে বসবে।
[সিলেট বোর্ড ২০১৬] প্রশ্ন ৯১ (খ): $(298)_8$ সংখ্যাটি সঠিক কি-না-ব্যাখ্যা কর।
সমাধান: $(298)_8$ সংখ্যাটি সঠিক নয়।
কারণ: অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির বেস বা ভিত্তি হলো ৮। এর অংকগুলো হলো $০, ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬,$ এবং $৭$। অক্টাল পদ্ধতিতে ৭-এর চেয়ে বড় কোনো অঙ্ক (যেমন ৮ বা ৯) ব্যবহার করা যায় না।
যেহেতু $(298)_8$ সংখ্যাটিতে $9$ এবং $8$ অঙ্ক দুটি ব্যবহার করা হয়েছে, যা অক্টাল পদ্ধতির মৌলিক অঙ্কের তালিকার বাইরে, তাই সংখ্যাটি অক্টাল সংখ্যা পদ্ধতির নিয়ম অনুযায়ী সঠিক নয়।
✍️ শিক্ষার্থীদের অনুশীলনী
- [ঢাকা বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ৬ (খ): $17$ এর পরের সংখ্যাটি $20$- ব্যাখ্যা কর।
- [রাজশাহী বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ৮ (খ): $11+1=100$ হতে পারে- ব্যাখ্যা কর।
- [সিলেট বোর্ড ২০২৪] প্রশ্ন ১৭ (খ): $3+3+3=11$ কীভাবে সম্ভব? ব্যাখ্যা কর।
- [চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩] প্রশ্ন ৩৪ (খ): $5+3=10$ ব্যাখ্যা কর।
- [কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯] প্রশ্ন ৫২ (খ): $9+7=10$ সম্ভব কি-না? ব্যাখ্যা কর।
অফলাইন/অনলাইন কোর্সে ভর্তি হতে চান?
আজই যোগাযোগ করুন:
Naim Sir
0 Comments