CQ হ্যান্ডনোট: অধ্যায় ৪ (সূচক ও লগারিদম)
টাইপভিত্তিক সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান
টাইপ ১: সূচকীয় রাশির সরল ও প্রমাণ
সূচকের সূত্র এবং বীজগণিতের ($a^3-b^3$) সূত্র ব্যবহার করে মান নির্ণয় বা প্রমাণ।
প্রমাণ কর যে: $(\frac{P}{Q})^{a^{2}+ab+b^{2}}\times(\frac{Q}{R})^{b^{2}+bc+c^{2}}\times(\frac{R}{P})^{c^{2}+ca+a^{2}} = 1$
বামপক্ষ $= (\frac{P}{Q})^{a^{2}+ab+b^{2}}\times(\frac{Q}{R})^{b^{2}+bc+c^{2}}\times(\frac{R}{P})^{c^{2}+ca+a^{2}}$
মান বসিয়ে, $= (\frac{x^a}{x^b})^{a^2+ab+b^2} \times (\frac{x^b}{x^c})^{b^2+bc+c^2} \times (\frac{x^c}{x^a})^{c^2+ca+a^2}$
$= (x^{a-b})^{a^2+ab+b^2} \times (x^{b-c})^{b^2+bc+c^2} \times (x^{c-a})^{c^2+ca+a^2}$
$= x^{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \times x^{(b-c)(b^2+bc+c^2)} \times x^{(c-a)(c^2+ca+a^2)}$
[ $\because (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$ ]
$= x^{a^3-b^3} \times x^{b^3-c^3} \times x^{c^3-a^3}$
$= x^{a^3-b^3 + b^3-c^3 + c^3-a^3} = x^0 = 1$ (ডানপক্ষ)
[প্রমাণিত]
দেখাও যে, $A \div B \times \sqrt{49} = \frac{1}{7}$
প্রথমে A ও B কে সরল করি:
$A = \frac{7^{m+1}}{7^{m(m-1)}} = \frac{7^{m+1}}{7^{m^2-m}} = 7^{(m+1) - (m^2-m)} = 7^{2m-m^2+1}$
$B = \frac{(7^2)^{m+1}}{7^{(m-1)(m+1)}} = \frac{7^{2m+2}}{7^{m^2-1}} = 7^{(2m+2) - (m^2-1)} = 7^{2m-m^2+3}$
এখন, বামপক্ষ $= A \div B \times \sqrt{49} = \frac{A}{B} \times 7$
$= \frac{7^{2m-m^2+1}}{7^{2m-m^2+3}} \times 7^1 = 7^{(2m-m^2+1) - (2m-m^2+3)} \times 7^1$
$= 7^{1 - 3} \times 7^1 = 7^{-2} \times 7^1 = 7^{-2+1} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$ (ডানপক্ষ)
[দেখানো হলো]
প্রমাণ কর যে, $B \div C = \frac{1}{25}$
$B = \frac{5^{m+1}}{5^{m(m-1)}} = 5^{m+1-(m^2-m)} = 5^{2m-m^2+1}$
$C = \frac{(5^2)^{m+1}}{5^{(m-1)(m+1)}} = \frac{5^{2m+2}}{5^{m^2-1}} = 5^{2m+2-(m^2-1)} = 5^{2m-m^2+3}$
এখন, বামপক্ষ $= B \div C = \frac{5^{2m-m^2+1}}{5^{2m-m^2+3}}$
$= 5^{(2m-m^2+1) - (2m-m^2+3)} = 5^{1-3} = 5^{-2} = \frac{1}{25}$ (ডানপক্ষ)
[প্রমাণিত]
টাইপ ২: সূচকীয় সমীকরণ সমাধান
$a^x = a^y \implies x=y$ সূত্র বা দ্বিঘাত সমীকরণ ($a^2-4a+3=0$) পদ্ধতিতে সমাধান।
প্রশ্ন: $(\sqrt{7})^{5x-1}=(\sqrt[5]{7})^{2x-3}$
দেওয়া আছে, $(\sqrt{7})^{5x-1}=(\sqrt[5]{7})^{2x-3}$
বা, $(7^{\frac{1}{2}})^{5x-1} = (7^{\frac{1}{5}})^{2x-3}$
বা, $7^{\frac{5x-1}{2}} = 7^{\frac{2x-3}{5}}$
উভয়পক্ষের ভিত্তি (7) সমান, সুতরাং ঘাত সমান হবে:
$\implies \frac{5x-1}{2} = \frac{2x-3}{5}$
বা, $5(5x-1) = 2(2x-3)$ [আড়গুণন করে]
বা, $25x - 5 = 4x - 6$
বা, $25x - 4x = 5 - 6 \implies 21x = -1$
$\therefore x = -\frac{1}{21}$
Ans: $x = -\frac{1}{21}$
দেওয়া আছে, $A = 4^{2p+1}$ এবং $A = 128$
$\therefore 4^{2p+1} = 128$
বা, $(2^2)^{2p+1} = 2^7$ [ভিত্তি '2' তে রূপান্তর]
বা, $2^{2(2p+1)} = 2^7 \implies 2^{4p+2} = 2^7$
ভিত্তি সমান হওয়ায়, ঘাত সমান হবে: $4p+2 = 7$
বা, $4p = 7 - 2 \implies 4p = 5$
$\therefore p = \frac{5}{4}$
Ans: $p = \frac{5}{4}$
দেওয়া আছে, $3^{x}+3^{1-x} = 4$
বা, $3^x + \frac{3^1}{3^x} = 4$ [ $\because a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ ]
ধরি, $3^x = a$ $\implies a + \frac{3}{a} = 4$
বা, $a^2 + 3 = 4a \implies a^2 - 4a + 3 = 0$ [দ্বিঘাত সমীকরণ]
বা, $a^2 - 3a - a + 3 = 0$ [মিডল টার্ম]
বা, $a(a-3) - 1(a-3) = 0 \implies (a-3)(a-1) = 0$
হয় $a-3 = 0 \implies a = 3$
অথবা $a-1 = 0 \implies a = 1$
এখন, $a=3$ হলে, $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$
$a=1$ হলে, $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$
Ans: $x = 0, 1$
টাইপ ৩: লগারিদমিক রাশির সরল ও প্রমাণ
লগের যোগ, বিয়োগ ও ঘাতের সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশির মান নির্ণয় বা প্রমাণ।
প্রশ্ন: $P = \frac{\log\sqrt{27}+\log\sqrt{64}-\log\sqrt{1000}}{log~6-log~5}$ হলে, দেখাও যে $P = \frac{3}{2}$
লব (Numerator) সরল করে:
লব $= \log(3^3)^{\frac{1}{2}} + \log(8^2)^{\frac{1}{2}} - \log(10^3)^{\frac{1}{2}}$
$= \log 3^{\frac{3}{2}} + \log 8 - \log 10^{\frac{3}{2}}$
$= \frac{3}{2}\log 3 + \log 2^3 - \frac{3}{2}\log (2 \times 5)$
$= \frac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \frac{3}{2}(\log 2 + \log 5)$
$= \frac{3}{2}\log 3 + 3\log 2 - \frac{3}{2}\log 2 - \frac{3}{2}\log 5$
$= \frac{3}{2}\log 3 + (3 - \frac{3}{2})\log 2 - \frac{3}{2}\log 5$
$= \frac{3}{2}\log 3 + \frac{3}{2}\log 2 - \frac{3}{2}\log 5 = \frac{3}{2} (\log 3 + \log 2 - \log 5)$
হর (Denominator) সরল করে:
হর $= \log 6 - \log 5 = \log(2 \times 3) - \log 5 = \log 2 + \log 3 - \log 5$
এখন, লব ও হর বসিয়ে পাই:
$\therefore P = \frac{\frac{3}{2} (\log 3 + \log 2 - \log 5)}{(\log 3 + \log 2 - \log 5)} = \frac{3}{2}$ (ডানপক্ষ)
[দেখানো হলো]
প্রশ্ন: দেখাও যে, $D \log\frac{AC}{B^2} - A \log\frac{C^2}{A^2B} + B \log\frac{B^4}{A^4C} = - \log 2$
বামপক্ষ $= 7 \log\frac{2 \cdot 5}{3^2} - 2 \log\frac{5^2}{2^2 \cdot 3} + 3 \log\frac{3^4}{2^4 \cdot 5}$ [মান বসিয়ে]
$= \log(\frac{10}{9})^7 - \log(\frac{25}{12})^2 + \log(\frac{81}{80})^3$
$= \log \left( \frac{10^7}{9^7} \div \frac{25^2}{12^2} \times \frac{81^3}{80^3} \right) = \log \left( \frac{10^7}{9^7} \times \frac{12^2}{25^2} \times \frac{81^3}{80^3} \right)$
মৌলিক উৎপাদকে ভেঙে:
$= \log \left( \frac{(2\cdot5)^7}{(3^2)^7} \times \frac{(2^2\cdot3)^2}{(5^2)^2} \times \frac{(3^4)^3}{(2^4\cdot5)^3} \right)$
$= \log \left( \frac{2^7 \cdot 5^7}{3^{14}} \times \frac{2^4 \cdot 3^2}{5^4} \times \frac{3^{12}}{2^{12} \cdot 5^3} \right)$
$= \log \left( \frac{2^{7+4} \cdot 3^{2+12} \cdot 5^7}{2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^{4+3}} \right) = \log \left( \frac{2^{11} \cdot 3^{14} \cdot 5^7}{2^{12} \cdot 3^{14} \cdot 5^7} \right)$
$= \log (2^{11-12} \cdot 3^{14-14} \cdot 5^{7-7}) = \log (2^{-1} \cdot 3^0 \cdot 5^0)$
$= \log (2^{-1}) = -\log 2$ (ডানপক্ষ)
[দেখানো হলো]
$log_y x$ এর মান কত?
দেওয়া আছে, $log_a x = 5$ এবং $log_a y = 3$
আমরা জানি, লগারিদমের ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র অনুযায়ী, $\log_B A = \frac{\log_k A}{\log_k B}$
এখানে, $\log_y x = \frac{\log_a x}{\log_a y}$ (সাধারণ ভিত্তি $a$ ব্যবহার করে)
মান বসিয়ে পাই, $\log_y x = \frac{5}{3}$
Ans: $\frac{5}{3}$
0 Comments