CQ হ্যান্ডনোট: অধ্যায় ৪ (সূচক ও লগারিদম)
টাইপভিত্তিক সৃজনশীল প্রশ্ন ও সমাধান (টাইপ ৪, ৫, ৬)
টাইপ ৪: লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান
$\log M + \log N = \log(MN)$ বা $\log_a M = x \implies a^x = M$ সূত্র ব্যবহার করে $x$ এর মান নির্ণয়।
দেওয়া আছে, $Q = 1$
বা, $log_{10}x + log_{10}(x-9) = 1$
বা, $log_{10}\{x(x-9)\} = 1$ [ $\because \log M + \log N = \log(MN)$ ]
বা, $x(x-9) = 10^1$ [ $\because \log_a M = x$ হলে $a^x = M$ ]
বা, $x^2 - 9x = 10 \implies x^2 - 9x - 10 = 0$
বা, $x^2 - 10x + x - 10 = 0$ [মিডল টার্ম]
বা, $x(x-10) + 1(x-10) = 0 \implies (x-10)(x+1) = 0$
হয় $x-10=0 \implies x=10$
অথবা $x+1=0 \implies x=-1$
কিন্তু $x=-1$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম অসংজ্ঞায়িত।
Ans: $x = 10$
দেওয়া আছে, $Q = 1$
বা, $log_{10}x + log_{10}(x-3) = 1$
বা, $log_{10}\{x(x-3)\} = 1$
বা, $x(x-3) = 10^1 \implies x^2 - 3x - 10 = 0$
বা, $x^2 - 5x + 2x - 10 = 0$
বা, $x(x-5) + 2(x-5) = 0 \implies (x-5)(x+2) = 0$
হয় $x-5=0 \implies x=5$
অথবা $x+2=0 \implies x=-2$
$x=-2$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম অসংজ্ঞায়িত।
Ans: $x = 5$
দেওয়া আছে, $C = 0$
বা, $log(x+5)+log(x-5)-4~log~2-2~log~3 = 0$
বা, $log\{(x+5)(x-5)\} = 4~log~2 + 2~log~3$
বা, $log(x^2 - 25) = log(2^4) + log(3^2)$ [ $\because r \log M = \log M^r$ ]
বা, $log(x^2 - 25) = log 16 + log 9$
বা, $log(x^2 - 25) = log(16 \times 9)$
বা, $log(x^2 - 25) = log 144$
বা, $x^2 - 25 = 144$ [উভয়পক্ষ থেকে $\log$ বাদ দিয়ে]
বা, $x^2 = 144 + 25 = 169$
$\therefore x = 13$ (যেহেতু $x=-13$ হলে $log(x-5)$ অসংজ্ঞায়িত হয়)
Ans: $x = 13$
দেওয়া আছে, $P = 3$
বা, $2~log_{4}x-log_{4}(x+3)+2 = 3$
বা, $log_{4}(x^2) - log_{4}(x+3) = 3 - 2 = 1$
বা, $log_{4}(\frac{x^2}{x+3}) = 1$ [ $\because \log M - \log N = \log(M/N)$ ]
বা, $\frac{x^2}{x+3} = 4^1$ [ $\because \log_a M = x$ হলে $a^x = M$ ]
বা, $x^2 = 4(x+3) \implies x^2 = 4x + 12$
বা, $x^2 - 4x - 12 = 0$
বা, $x^2 - 6x + 2x - 12 = 0$
বা, $x(x-6) + 2(x-6) = 0 \implies (x-6)(x+2) = 0$
হয় $x-6=0 \implies x=6$
অথবা $x+2=0 \implies x=-2$
$x=-2$ গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ $log_4(-2)$ অসংজ্ঞায়িত।
Ans: $x = 6$
টাইপ ৫: বৈজ্ঞানিক রূপ, পূর্ণক ও অংশক
(অনুশীলনী ৪.৩) $a \times 10^n$ আকারে প্রকাশ এবং সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয়।
প্রশ্ন: $0.000036$ সংখ্যাটির সাধারণ লগের পূর্ণক নির্ণয় কর।
প্রদত্ত সংখ্যা $= 0.000036$
সংখ্যাটিকে বৈজ্ঞানিক রূপে ($a \times 10^n$) প্রকাশ করে পাই,
$0.000036 = 3.6 \times 10^{-5}$
এখানে, $10$-এর ঘাত (সূচক) হলো $-5$ ।
$\therefore$ সংখ্যাটির সাধারণ লগের পূর্ণক $-5$ বা $\bar{5}$ ।
Ans: $\bar{5}$
(খ) $x$ ও $y$ এর গুণফলকে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ কর।
(গ) $xy$ এর সাধারণ লগের পূর্ণক ও অংশক নির্ণয় কর।
$x$ ও $y$ এর গুণফল $= xy = 1000 \times 0.0625 = 62.5$
এখন, $62.5$ কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাই,
$62.5 = 6.25 \times 10^1$
Ans: $6.25 \times 10^1$
'খ' থেকে পাই, $xy = 62.5$
পূর্ণক: $62.5 = 6.25 \times 10^1$
এখানে, $10$-এর ঘাত $1$ । $\therefore$ পূর্ণক = $1$ ।
অংশক: অংশক নির্ণয়ের জন্য $\log(62.5)$ এর মান বের করি।
$\log(62.5) = 1.79588...$
পূর্ণ সংখ্যা (1) বাদ দিলে দশমিক অংশটিই হলো অংশক।
$\therefore$ অংশক $\approx 0.79588$
Ans: পূর্ণক $1$ এবং অংশক $0.79588$
টাইপ ৬: (ক) নম্বর প্রশ্ন (বিবিধ সহজ প্রশ্ন)
সৃজনশীলের (ক) নম্বরে আসা সহজ লগ, সূচক বা উৎপাদকের সমাধান।
প্রশ্ন: $3\sqrt{3}$ এর $3$ ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর।
$3\sqrt{3}$ এর $3$ ভিত্তিক লগ $= \log_{3}(3\sqrt{3})$
$= \log_{3}(3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}) = \log_{3}(3^{1 + \frac{1}{2}})$
$= \log_{3}(3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} \log_{3}3 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$
Ans: $\frac{3}{2}$
প্রশ্ন: $32$ এর $4$ ভিত্তিক লগ নির্ণয় কর।
$32$ এর $4$ ভিত্তিক লগ $= \log_{4}32 = \log_{2^2}(2^5)$
$= \frac{5}{2} \log_{2}2$ [ $\because \log_{a^k} M^r = \frac{r}{k} \log_a M$ ]
$= \frac{5}{2} \times 1 = \frac{5}{2}$
Ans: $\frac{5}{2}$
$\sqrt{P^3}$ এর $7$ ভিত্তিক লগ $= \log_{7}(\sqrt{P^3}) = \log_{7}(\sqrt{7^3})$ [ $\because P=7$ ]
$= \log_{7}(7^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2} \log_{7}7 = \frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2}$
Ans: $\frac{3}{2}$
প্রশ্ন: $\log_5(\sqrt[3]{5}.\sqrt{5})$ এর মান নির্ণয় কর।
$\log_5(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5}) = \log_5(5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}})$
$= \log_5(5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}) = \log_5(5^{\frac{2+3}{6}}) = \log_5(5^{\frac{5}{6}})$
$= \frac{5}{6} \log_5 5 = \frac{5}{6} \times 1 = \frac{5}{6}$
Ans: $\frac{5}{6}$
প্রশ্ন: $p^4 + p^2 - 2$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
প্রদত্ত রাশি $= p^4 + p^2 - 2$
$= p^4 + 2p^2 - p^2 - 2$
$= p^2(p^2 + 2) - 1(p^2 + 2)$
$= (p^2 + 2)(p^2 - 1)$
$= (p^2 + 2)(p+1)(p-1)$
Ans: $(p+1)(p-1)(p^2+2)$
প্রশ্ন: $a^2-2ab-2b-1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।
প্রদত্ত রাশি $= a^2-2ab-2b-1$
$= a^2 - 1 - 2ab - 2b$ [সাজিয়ে]
$= (a^2 - 1) - 2b(a+1)$
$= (a+1)(a-1) - 2b(a+1)$
$= (a+1) \{ (a-1) - 2b \}$
$= (a+1)(a-2b-1)$
Ans: $(a+1)(a-2b-1)$
প্রশ্ন: $4^{2p-1}=512$ হলে $p$ এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $4^{2p-1}=512$
বা, $(2^2)^{2p-1} = 2^9$
বা, $2^{4p-2} = 2^9$
ভিত্তি সমান হওয়ায়, $4p - 2 = 9 \implies 4p = 11$
$\therefore p = \frac{11}{4}$
Ans: $p = \frac{11}{4}$
প্রশ্ন: $(\sqrt{5})^{x+1}=(\sqrt[3]{5})^{2x-1}$ হলে $x$ এর মান নির্ণয় কর।
দেওয়া আছে, $(\sqrt{5})^{x+1}=(\sqrt[3]{5})^{2x-1}$
বা, $(5^{\frac{1}{2}})^{x+1} = (5^{\frac{1}{3}})^{2x-1}$
বা, $5^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}$
ভিত্তি সমান হওয়ায়, $\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}$
বা, $3(x+1) = 2(2x-1) \implies 3x + 3 = 4x - 2$
বা, $3 + 2 = 4x - 3x \implies 5 = x$
Ans: $x = 5$
প্রশ্ন: $\log_{7}\frac{6}{5}$ কে A, B এবং C এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
$\log_{7}\frac{6}{5} = \log_{7}6 - \log_{7}5$ [ $\because \log(M/N) = \log M - \log N$ ]
$= \log_{7}(2 \times 3) - \log_{7}5$
$= \log_{7}2 + \log_{7}3 - \log_{7}5$ [ $\because \log(MN) = \log M + \log N$ ]
$= C + A - B$
Ans: $C + A - B$
0 Comments