অধ্যায় ৪: সূচক ও লগারিদম
MCQ হ্যান্ডনোট (বোর্ড প্রশ্নভিত্তিক)
অনুশীলনী ৪.১: সূচক (Exponents)
টাইপ ১: সূচকের সরাসরি মান নির্ণয়
এই টাইপের প্রশ্নে একটি সূচকীয় রাশির সুনির্দিষ্ট সাংখ্যিক মান বের করতে বলা হয়। এর মধ্যে ভগ্নাংশ, ঋণাত্মক বা শূন্য ঘাত থাকতে পারে।
১। $16^{\frac{3}{4}}$ এর মান কত? [ব.বো.'১৭]
উত্তর: (ঘ) ৪
ব্যাখ্যা:
$$16^{\frac{3}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^{3} = (2^{4 \times \frac{1}{4}})^{3} = 2^{3} = 8$$২। $\sqrt[4]{16^{3}}$ এর মান কত? [সি.বো.'২৩]
উত্তর: (ঘ) ৪
ব্যাখ্যা:
$$\sqrt[4]{16^{3}} = \sqrt[4]{(2^{4})^{3}} = \sqrt[4]{2^{12}} = (2^{12})^{\frac{1}{4}} = 2^{3} = 8$$৩। $(2^{-1} + 3^{-1})^{-1}$ এর মান কত? [সি.বো.'১৭]
উত্তর: (ঘ) $\frac{6}{5}$
ব্যাখ্যা:
$$(2^{-1} + 3^{-1})^{-1} = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)^{-1} = \left(\frac{3+2}{6}\right)^{-1} = \left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}$$টাইপ ২: সূচকীয় সমীকরণ সমাধান ($x$-এর মান নির্ণয়)
এই প্রশ্নগুলোতে সূচক সম্বলিত একটি সমীকরণ দেওয়া থাকে, যেখান থেকে চলক ($x$, $n$ ইত্যাদি)-এর মান নির্ণয় করতে হয়। মূল কৌশল হলো সমীকরণের উভয় পাশের ভিত্তি (base) সমান করা।
১। $\frac{1}{4^{-x}} = 64$ হলে, $x$ = কত? [ঢা.বো.'২৪]
উত্তর: (খ) 3
ব্যাখ্যা:
$$\frac{1}{4^{-x}} = 64 \Rightarrow 4^{x} = 64 \Rightarrow 4^{x} = 4^{3}$$ $$\therefore x = 3$$২। $2^{3x+1} = 128$ হলে $x$ = কত? [ব.বো.'১৬]
উত্তর: (খ) 2
ব্যাখ্যা:
$$2^{3x+1} = 128 \Rightarrow 2^{3x+1} = 2^{7}$$ $$\Rightarrow 3x+1 = 7 \Rightarrow 3x = 6 \therefore x = 2$$৩। $(\sqrt{2})^{x+1} = 16$ হলে, $x$ এর মান কত? [রা.বো.'১৯]
উত্তর: (ঘ) 7
ব্যাখ্যা:
$$(\sqrt{2})^{x+1} = 16 \Rightarrow (2^{\frac{1}{2}})^{x+1} = 2^{4}$$ $$\Rightarrow 2^{\frac{x+1}{2}} = 2^{4} \Rightarrow \frac{x+1}{2} = 4$$ $$\Rightarrow x+1 = 8 \therefore x = 7$$৪। $4^{x} = 8$ হলে $x$ = কত? [কু.বো.'১৬]
উত্তর: (ঘ) $\frac{3}{2}$
ব্যাখ্যা:
$$4^{x} = 8 \Rightarrow (2^{2})^{x} = 2^{3} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{3}$$ $$\Rightarrow 2x = 3 \therefore x = \frac{3}{2}$$টাইপ ৩: সূচকীয় রাশির সরলীকরণ
একাধিক সূচকীয় রাশিকে (বীজগণিতীয় সূত্র বা সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে) সরল করে একটি ছোট আকারে প্রকাশ করা।
১। $\frac{4^{n}-1}{2^{n}+1}$ এর মান নিচের কোনটি? [রা.বো.'২৩]
উত্তর: (খ) $2^{n} - 1$
ব্যাখ্যা:
$$\frac{4^{n}-1}{2^{n}+1} = \frac{(2^{2})^{n}-1}{2^{n}+1} = \frac{(2^{n})^{2}-1^{2}}{2^{n}+1}$$ $$= \frac{(2^{n}+1)(2^{n}-1)}{2^{n}+1} = 2^{n}-1$$টাইপ ৪: সূচকের সূত্র ও শর্ত ভিত্তিক প্রশ্ন
এই প্রশ্নগুলো সরাসরি সূচকের মৌলিক সূত্র বা সেই সূত্র প্রযোজ্য হওয়ার শর্ত (condition) জানতে চায়।
১। কোন শর্তে $x^{0} = 1$? [ঢা.বো.২৪]
উত্তর: (ক) $x \ne 0$
ব্যাখ্যা:
সূচক বিধি (Index law) অনুযায়ী: $x^{0} = 1$ (যখন $x \ne 0$)। শূন্য ব্যতীত যেকোনো সংখ্যার ঘাত শূন্য হলে তার মান ১ হয়। $0^{0}$ অসংজ্ঞায়িত।
অনুশীলনী ৪.২: লগারিদম (Logarithms)
টাইপ ১: লগারিদমের সরাসরি মান নির্ণয়
একটি নির্দিষ্ট লগারিদমিক রাশির সাংখ্যিক মান নির্ণয় করা। মূল কৌশল হলো $\log_{a}a = 1$ এবং $\log_{a}M^{r} = r \log_{a}M$ সূত্র ব্যবহার করা।
১। $\log_{16}4$ এর মান কত? [য.বো.১৯; কু.বো.১৬]
উত্তর: (ঘ) $\frac{1}{2}$
ব্যাখ্যা:
$$\log_{16}4 = \log_{16}\sqrt{16} = \log_{16}(16^{\frac{1}{2}})$$ $$= \frac{1}{2}\log_{16}16 = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$$২। $\log_{5}(\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt{5})$ এর মান কত? [ঢা.বো.'২২]
উত্তর: (খ) $\frac{5}{6}$
ব্যাখ্যা:
$$\log_{5}(5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}) = \log_{5}(5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}})$$ $$= \log_{5}(5^{\frac{2+3}{6}}) = \log_{5}(5^{\frac{5}{6}})$$ $$= \frac{5}{6}\log_{5}5 = \frac{5}{6}$$টাইপ ২: লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান
লগ সম্বলিত সমীকরণ থেকে চলক $x$ বা অজানা ভিত্তি (base)-এর মান নির্ণয় করা। মূল কৌশল হলো $\log_{a}M = x \Rightarrow a^{x} = M$ এই সম্পর্কটি ব্যবহার করা।
১। $\log_{4}x = \frac{1}{2}$ হলে $x$ = কত? [ম.বোর্ড ২২]
উত্তর: (খ) 2
ব্যাখ্যা:
$$\log_{4}x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 4^{\frac{1}{2}} \Rightarrow x = \sqrt{4} \therefore x = 2$$২। $\log_{x}(\frac{1}{64}) = -6$ হলে $x$ এর মান কত? [ঢা.বো. ২৩]
উত্তর: (ঘ) 2
ব্যাখ্যা:
$$\log_{x}\left(\frac{1}{64}\right) = -6 \Rightarrow x^{-6} = \frac{1}{64} \Rightarrow \frac{1}{x^{6}} = \frac{1}{64}$$ $$\Rightarrow x^{6} = 64 \Rightarrow x^{6} = 2^{6} \therefore x = 2$$টাইপ ৩: লগারিদমিক রাশির সরলীকরণ
লগের যোগ, বিয়োগ বা ঘাতের সূত্র ব্যবহার করে একাধিক লগারিদমিক রাশিকে সরল করা।
১। $\log_{36}6 + \log_{\sqrt{6}}6$ = কত? [চ.বো.'২০]
উত্তর: (গ) $2\frac{1}{2}$
ব্যাখ্যা:
$$\log_{36}6 + \log_{\sqrt{6}}6 = \log_{36}\sqrt{36} + \log_{\sqrt{6}}(\sqrt{6})^{2}$$ $$= \log_{36}(36^{\frac{1}{2}}) + 2 \log_{\sqrt{6}}\sqrt{6}$$ $$= \frac{1}{2}\log_{36}36 + 2 \times 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$$অফলাইন/অনলাইনে পড়তে চাইলে যোগাযোগ করুন
Naim Sir
WhatsApp: 01861976642
অনুশীলনী ৪.৩: বৈজ্ঞানিক রূপ ও পূর্ণক
টাইপ ১: বৈজ্ঞানিক/আদর্শ রূপ নির্ণয়
কোনো দশমিক বা পূর্ণ সংখ্যাকে $a \times 10^{n}$ আকারে প্রকাশ করা, যেখানে $1 \le a < 10$ এবং $n$ একটি পূর্ণসংখ্যা।
১। 0.0000625 এর বৈজ্ঞানিক রূপ নিচের কোনটি? [য.বো.'২৩]
উত্তর: (ঘ) $6.25 \times 10^{-5}$
ব্যাখ্যা:
দশমিক বিন্দুকে 5 ঘর ডানে সরাতে হবে, তাই ঘাত $-5$।
$$0.0000625 = \frac{6.25}{100000} = \frac{6.25}{10^{5}} = 6.25 \times 10^{-5}$$টাইপ ২: সাধারণ লগের পূর্ণক নির্ণয়
কোনো সংখ্যার ১০-ভিত্তিক লগারিদমের পূর্ণসংখ্যা অংশ (characteristic) নির্ণয় করা।
১। 0.0037 এর সাধারণ লগের পূর্ণক কত? [রা.বো.'২৩]
উত্তর: (ঘ) $\overline{3}$
ব্যাখ্যা:
বৈজ্ঞানিক রূপ: $0.0037 = 3.7 \times 10^{-3}$। এখানে, $10$-এর ঘাত $-3$।
সুতরাং, পূর্ণক $=-3$ বা $\overline{3}$।
২। 35.37 সংখ্যাটির লগের পূর্ণক কত? [কু.বো.'১৭]
উত্তর: (খ) 1
ব্যাখ্যা:
সংখ্যাটি $35.37$। এখানে পূর্ণ অংশ $35$, যার অঙ্ক সংখ্যা 2।
সুতরাং, পূর্ণক = (অঙ্ক সংখ্যা - 1) = $2 - 1 = 1$।
টাইপ ৩: সাধারণ লগের অংশক নির্ণয়
কোনো সংখ্যার ১০-ভিত্তিক লগারিদমের ধনাত্মক ভগ্নাংশ অংশ (mantissa) নির্ণয় করা। (এটি ক্যালকুলেটর ভিত্তিক)।
১। 0.00234 এর লগের অংশক কত? [ম.বো.'২৩]
উত্তর: (গ) 0.3692
ব্যাখ্যা:
ক্যালকুলেটরে, $\log(0.00234) \approx -2.6308$
পূর্ণক ও অংশক আলাদা করতে হলে:
$$-2.6308 = (-2 - 1) + (1 - 0.6308)$$ $$= -3 + 0.3692 = \overline{3}.3692$$সুতরাং, অংশক হলো $0.3692$।
অফলাইন/অনলাইনে পড়তে চাইলে যোগাযোগ করুন
Naim Sir
WhatsApp: 01861976642
0 Comments