ক্যালকুলাস-১ হ্যান্ডনোট
অধ্যায় ১: বাস্তব সংখ্যা পদ্ধতি (টাইপ-১)
ভূমিকা: এই হ্যান্ডনোটটিতে ক্যালকুলাস-১ এর টাইপ-১ (স্বীকার্য ও সাধারণ ধর্মাবলি) এর সকল প্রশ্নের নির্ভুল সমাধান দেওয়া হয়েছে।
ADVERTISEMENT
পর্ব ১: স্বীকার্যসমূহ (Axioms)
১.০২: বাস্তব সংখ্যার ক্রম স্বীকার্য (Order Axioms) লিখ।
সমাধান: ধরি, \(a, b, c \in \mathbb{R}\)।
- ত্রিখণ্ডন বিধি: \( a < b \), \( a = b \) অথবা \( a > b \)
- সংক্রমী বিধি: \( a < b \) এবং \( b < c \Rightarrow a < c \)
- যোগের ক্রমবর্ধিষ্ণুতা: \( a < b \Rightarrow a + c < b + c \)
- গুণের ক্রমবর্ধিষ্ণুতা: \( a < b, c > 0 \Rightarrow ac < bc \)
ADVERTISEMENT
১.০৩: বাস্তব সংখ্যার ফিল্ড স্বীকার্যসমূহ (Field Axioms) লিখ।
(ক) যোগের স্বীকার্য: আবদ্ধতা, সহযোজন, অভেদক (\(0\)), বিপরীতক (\(-a\)), বিনিময়।
(খ) গুণের স্বীকার্য: আবদ্ধতা, সহযোজন, অভেদক (\(1\)), বিপরীতক (\(a^{-1}\)), বিনিময়।
(গ) বন্টন বিধি: \( a(b + c) = ab + ac \)
(খ) গুণের স্বীকার্য: আবদ্ধতা, সহযোজন, অভেদক (\(1\)), বিপরীতক (\(a^{-1}\)), বিনিময়।
(গ) বন্টন বিধি: \( a(b + c) = ab + ac \)
পর্ব ২: গাণিতিক প্রমাণ (Proofs)
১.০৪: প্রমাণ কর যে, \(ab=0 \Rightarrow a=0\) বা \(b=0\)।
প্রমাণ: ধরি \(a, b \in \mathbb{R}\) এবং \(ab = 0\)।
যদি \(a \neq 0\), তবে \(a^{-1}\) বিদ্যমান।
\(\begin{aligned} a^{-1}(ab) &= a^{-1} \cdot 0 \\ (a^{-1}a)b &= 0 \implies 1 \cdot b = 0 \implies b = 0 \end{aligned}\)
অনুরূপভাবে \(b \neq 0\) হলে \(a = 0\) হয়। (প্রমাণিত)
যদি \(a \neq 0\), তবে \(a^{-1}\) বিদ্যমান।
\(\begin{aligned} a^{-1}(ab) &= a^{-1} \cdot 0 \\ (a^{-1}a)b &= 0 \implies 1 \cdot b = 0 \implies b = 0 \end{aligned}\)
অনুরূপভাবে \(b \neq 0\) হলে \(a = 0\) হয়। (প্রমাণিত)
ADVERTISEMENT
১.৩৩: প্রমাণ কর যে, \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0\)।
প্রমাণ: \(a \cdot 0 + a \cdot 0 = a(0 + 0) = a \cdot 0\)
উভয় পক্ষে \(-(a \cdot 0)\) যোগ করে পাই,
\(a \cdot 0 + (a \cdot 0 - a \cdot 0) = a \cdot 0 - a \cdot 0 \Rightarrow a \cdot 0 + 0 = 0 \Rightarrow a \cdot 0 = 0\)। (প্রমাণিত)
উভয় পক্ষে \(-(a \cdot 0)\) যোগ করে পাই,
\(a \cdot 0 + (a \cdot 0 - a \cdot 0) = a \cdot 0 - a \cdot 0 \Rightarrow a \cdot 0 + 0 = 0 \Rightarrow a \cdot 0 = 0\)। (প্রমাণিত)
সংযুক্তি: বেসিক আলোচনা
ফিল্ড বনাম ক্রম
বাস্তব সংখ্যা ফিল্ড ও ক্রম স্বীকার্য উভয়ই মেনে চলে বলে একে ক্রমায়িত ফিল্ড (Ordered Field) বলা হয়। এই মৌলিক স্বীকার্যগুলো ছাড়া উচ্চতর ক্যালকুলাস অসম্ভব।
0 Comments